சுமார் 6 ஆண்டுகள் இருக்கும். அப்போது தான் வேதத்தில் சொல்லப்பட்டிருக்கும் கணித சூத்திரங்கள் பற்றிய ஆர்வம் எனக்கும் மேலிட்டது. அந்த ஆர்வம் வேதத்தின் மீது இருந்த ஞானம் என்று கதையளக்கத் துவங்கினால் எனக்கு போஜனம் கிடைக்காது. சுயநலத்தின் தேடலே அதற்கு காரணம். நான் அந்த சமயத்தில் என்னை GMAT என்ற மேலாண்மை படிப்புக்குத் தேவையான நுழைவுத்தேர்வுக்கு தயார் செய்து கொண்டிருந்தேன். அந்த சமயத்தில் அதில் இருக்கும் கணித கேள்விக்கு துரிதமாக விடையளிக்க எனக்கு சில சுருக்கு வழிகள் தேவைப்பட்டன. அந்த சுருக்கு வழிகள் வேதத்தில் இருக்கும் சூத்திரத்தில் கிடைக்குமா என்ற ஆர்வத்தில் படிக்கத்துவங்கினேன். ஆச்சரியம். கிடைத்தன.
அந்த சூத்திரங்களை நான் குழந்தைகளுக்கு சொல்லி கொடுக்கும் வகையில் ஆவணப்படுத்த விரும்பியதன் விளைவைதான் நீங்கள் இப்போது படித்துக் கொண்டிருக்கிறீர்கள். இப்போது நமக்கு வேதத்தில் இருப்பதாக நம் முன் இருப்பவை 16 சூத்திரங்கள். இவையனைத்தும் வேதத்தில் நேரடியாக சொல்லப்படவையல்ல. இவற்றை தனது ஆழ்ந்த தபஸின் மூலம் நமக்குப் பெற்றுத் தந்தவர் ஜகத்குரு ஸ்வாமி ஸ்ரீ பாரதி கிருஷ்ண தீர்த்தர் - இவர் பூரியின் கோவர்தன மடத்தின் சங்கராசார்யாராக இருந்தவர். பூர்வாசிரம பெயர் வெஙகடராமன். தமிழ்நாட்டில் பிறந்து பூர்வாசிரமத்தில் திருச்சி நேஷனல் கல்லூரியிலும், திருநெல்வேலியிலிருக்கும் சர்ச் மிஷனரி சொசைட்டி கல்லூரியிலும், ஹிந்து கல்லூரியிலும் கல்வி பயின்றவர். தமது 20வது வயதில் MA தேர்ச்சி பெற்றார். இளம்பிராயத்திலிருந்தே ஆழ்ந்த இறை நாட்டமும் கொண்ட இவர் 1919 ஆம் ஆண்டு முறையாக சந்நியாச வாழ்வை ஏற்றுக் கொண்டார். தனது துறவு வாழ்க்கையின் போது ஏறக்குறைய எட்டு ஆண்டுகள் தனிமையில் அவர் மேற்கொண்ட தபஸின் காரணமாக நமக்குக் கிடைத்தவை தான் 16 சூத்திரங்கள். அவை நேரடியாக சொல்லப்படாமல், அதர்வன வேதத்தில் பூடகமாக சொல்லப்பட்டிருக்கின்றன. அவற்றை பிரித்தெடுத்து நமக்கு சங்கராச்சாரியார் அருளியிருக்கிறார். ஒவ்வொரு சூத்திரத்திர்க்கும் ஒன்று என்ற கணக்கில் 16 நூல்களை அவர் இயற்றி இருக்கிறார். ஆனால் அவையனைத்தும் நம்மிடையே இல்லை. நம்மிடையே இருப்பவையெல்லாம் 16 சூத்திரங்களையும் உள்ளடக்கி அவர் எழுதியுள்ள ஒரே ஒரு நூல் தான்.
ஆனால் இந்த சூத்திரங்களை ஒருமித்த குரலோடு எல்லோருமே ஏற்றுக் கொள்ளவில்லை. காரணம் அவை வேத்திலிருந்து தான் வந்தவை என்பதற்கு எந்த் விதமான ஆதாரமும் கிடையாது. சங்காராச்சாரியரும் தன்னுடைய நூலில் இவற்றை அதவன வேததில் பூடகமாக சொல்லப்பட்டவைகளைக் கொண்டு மீள் உருவக்கம் செய்திருப்பதாகத்தான் சொல்கிறாரே அன்றி அவை அதர்வன வேத்தில் இந்த இந்த இடத்தில் இருந்து எடுக்கப்பட்டவை என்று கூறவில்லை. இந்து மதத்தில் வழங்கப்படும் தியானம், யோகம் போன்ற முறைகளில் மிகவும் உன்னதமான விஷயம் என்று நான் கருதுவது ஒன்றைத்தான் - அவை மனதின் அறியா வெளிகளை மனிதனுக்கு அறிமுகப்படுத்துகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் எல்லாம் அப்படிபட்ட உச்சகட்ட தியானத்தின் பயனாகவே நான் பார்க்கிறேன். இந்த சூத்திரங்களை சொல்லப்படும் வழி முறைகளுக்கு காரண காரியம் கிடையாது - அவை அனைத்தும் உள்ளுணர்வு வாயிலாக கண்டடையப்பட்டவை. It is a creative way of solving an existing problem. அந்த படைப்புத்திறமை தோன்றுவதற்கு காரணங்களும் clue-வும் ஸ்வாமிஜிக்கு அதர்வன வேதத்தை அத்யனம் செய்ததிலிருந்து கிடைத்து இருக்கக்கூடும். ஐந்து புலன்களுக்கு அப்பாற்பட்ட புலன்கள் திறக்கப்படும் போது கிடைக்கக்கூடிய தரிசனங்களின் பலன்கள் அவை. ஒருவேளை இவையணைத்தும் வேதத்தில் சொல்லப்படவில்லை என்று ஸ்தாபிக்கப்பட்டால் கூட அந்த வழிமுறைகளை கண்டடைந்த சங்கராச்சாரியாரின் மேதமையை நாம் மறுக்க முடியாது.
நடு நிலையிலிருந்து சொல்லவேண்டுமானால் இந்த சூத்திரங்களால் அதிகம் பயன் படுபவர்கள் பள்ளி குழந்தைகளே.
Advance Mathematics-இல் இந்த சூத்திரங்களின் பயன்பாடு எவ்வகையிலானது என்பது குறித்து இரு வேறு கருத்துகள் உள்ளன. ஏதேனும் ஒரு கருத்தை மட்டும் ஆதரிக்கும் அளவு எனக்கு கணிததில் முதிர்ச்சி கிடையாது என்பதால் நான் என்னையும் இந்த கட்டுரை தொடரையும் அந்த விவாதத்திலிருந்து விலக்கிக் கொள்கிறேன். தொழில் முறை கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் அந்த செம்பணியை மேற்கொள்ளட்டும்.
என்னுடைய பணி இனி வரும் பகுதிகளில் இந்த சூத்திரங்களை எளிமையாக குழந்தைகளும் புரிந்து கொள்ளும் வண்ணம் விளக்குதலே ஆகும். இந்த சூத்திரங்கள் வாயிலாக சிக்கலான கணித செயல்பாடுகளை மிகவும் எளிமையாக செய்ய முடியும் என்பதை நீங்கள் உங்கள் அனுபவத்தின் வாயிலாகவே உணரலாம். அவற்றை சிறு குழந்தைகளுக்கு எடுத்துச் சொல்லுதல் என்பது உங்களுக்கும் ஏதுவாக இருக்கும் வண்ணம் பின் வரும் பகுதிகளை நான் அமைக்க விரும்புகிறேன். ஒருவேளை உங்களுக்கு இதில் ஏதேனும் குழப்பம் தோன்றுமென்றால் அது என் எழுத்தின் பலவீனத்தையே காட்டுமேயன்றி, அவற்றை சூத்திரங்களின் குறைபாடாக கருதலாகாது.
நாம் தற்போது பயன்படுத்தும் முறைக்கும் இந்த முறைக்கும் இருக்கும் மிக முக்கியமான வேறுபாடு என்னவென்றால் எழுதுவது, படிப்பது போலவே பெருக்கலையும் இடமிருந்து வலமாகவே செய்வீர்கள்.
பயன்படுத்தும் வழிமுறை:
வழிமுறையை விளக்க நாம் பயன்படுத்தப் போகும் உதாரணம் 18 19
படி 1:
ஒவ்வொரு பெருக்கலிலும் Multiplicand (பெருக்கப்படுமெண்) மற்றும் multiplier (பெருக்கி) என்று இரண்டு நிச்சயம் எண்கள் உண்டு. அவற்றை ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக எழுதிக்கொள்ளவும். மேலே சொன்ன உதாரணத்தில்
Multiplicand (பெருக்கப்படுமெண்): 18
Multiplier (பெருக்கி): 19. இவற்றை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக எழுதினால் இப்படி வரும். இனிமேல் நாம் நமது எல்லா உதாரணத்திலும் இப்படி தான் எழுதுவோம்.
18
19
படி 2:
முதலில் இடது ஓரத்தில் இருக்கும் இலக்கங்களை செங்குத்தாக ஒன்றோடு ஒன்று பெருக்கி அதன் பதிலை இடது ஓரத்தில் எழுதிக்கொள்ளவும்.
அந்த சூத்திரங்களை நான் குழந்தைகளுக்கு சொல்லி கொடுக்கும் வகையில் ஆவணப்படுத்த விரும்பியதன் விளைவைதான் நீங்கள் இப்போது படித்துக் கொண்டிருக்கிறீர்கள். இப்போது நமக்கு வேதத்தில் இருப்பதாக நம் முன் இருப்பவை 16 சூத்திரங்கள். இவையனைத்தும் வேதத்தில் நேரடியாக சொல்லப்படவையல்ல. இவற்றை தனது ஆழ்ந்த தபஸின் மூலம் நமக்குப் பெற்றுத் தந்தவர் ஜகத்குரு ஸ்வாமி ஸ்ரீ பாரதி கிருஷ்ண தீர்த்தர் - இவர் பூரியின் கோவர்தன மடத்தின் சங்கராசார்யாராக இருந்தவர். பூர்வாசிரம பெயர் வெஙகடராமன். தமிழ்நாட்டில் பிறந்து பூர்வாசிரமத்தில் திருச்சி நேஷனல் கல்லூரியிலும், திருநெல்வேலியிலிருக்கும் சர்ச் மிஷனரி சொசைட்டி கல்லூரியிலும், ஹிந்து கல்லூரியிலும் கல்வி பயின்றவர். தமது 20வது வயதில் MA தேர்ச்சி பெற்றார். இளம்பிராயத்திலிருந்தே ஆழ்ந்த இறை நாட்டமும் கொண்ட இவர் 1919 ஆம் ஆண்டு முறையாக சந்நியாச வாழ்வை ஏற்றுக் கொண்டார். தனது துறவு வாழ்க்கையின் போது ஏறக்குறைய எட்டு ஆண்டுகள் தனிமையில் அவர் மேற்கொண்ட தபஸின் காரணமாக நமக்குக் கிடைத்தவை தான் 16 சூத்திரங்கள். அவை நேரடியாக சொல்லப்படாமல், அதர்வன வேதத்தில் பூடகமாக சொல்லப்பட்டிருக்கின்றன. அவற்றை பிரித்தெடுத்து நமக்கு சங்கராச்சாரியார் அருளியிருக்கிறார். ஒவ்வொரு சூத்திரத்திர்க்கும் ஒன்று என்ற கணக்கில் 16 நூல்களை அவர் இயற்றி இருக்கிறார். ஆனால் அவையனைத்தும் நம்மிடையே இல்லை. நம்மிடையே இருப்பவையெல்லாம் 16 சூத்திரங்களையும் உள்ளடக்கி அவர் எழுதியுள்ள ஒரே ஒரு நூல் தான்.
ஆனால் இந்த சூத்திரங்களை ஒருமித்த குரலோடு எல்லோருமே ஏற்றுக் கொள்ளவில்லை. காரணம் அவை வேத்திலிருந்து தான் வந்தவை என்பதற்கு எந்த் விதமான ஆதாரமும் கிடையாது. சங்காராச்சாரியரும் தன்னுடைய நூலில் இவற்றை அதவன வேததில் பூடகமாக சொல்லப்பட்டவைகளைக் கொண்டு மீள் உருவக்கம் செய்திருப்பதாகத்தான் சொல்கிறாரே அன்றி அவை அதர்வன வேத்தில் இந்த இந்த இடத்தில் இருந்து எடுக்கப்பட்டவை என்று கூறவில்லை. இந்து மதத்தில் வழங்கப்படும் தியானம், யோகம் போன்ற முறைகளில் மிகவும் உன்னதமான விஷயம் என்று நான் கருதுவது ஒன்றைத்தான் - அவை மனதின் அறியா வெளிகளை மனிதனுக்கு அறிமுகப்படுத்துகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் எல்லாம் அப்படிபட்ட உச்சகட்ட தியானத்தின் பயனாகவே நான் பார்க்கிறேன். இந்த சூத்திரங்களை சொல்லப்படும் வழி முறைகளுக்கு காரண காரியம் கிடையாது - அவை அனைத்தும் உள்ளுணர்வு வாயிலாக கண்டடையப்பட்டவை. It is a creative way of solving an existing problem. அந்த படைப்புத்திறமை தோன்றுவதற்கு காரணங்களும் clue-வும் ஸ்வாமிஜிக்கு அதர்வன வேதத்தை அத்யனம் செய்ததிலிருந்து கிடைத்து இருக்கக்கூடும். ஐந்து புலன்களுக்கு அப்பாற்பட்ட புலன்கள் திறக்கப்படும் போது கிடைக்கக்கூடிய தரிசனங்களின் பலன்கள் அவை. ஒருவேளை இவையணைத்தும் வேதத்தில் சொல்லப்படவில்லை என்று ஸ்தாபிக்கப்பட்டால் கூட அந்த வழிமுறைகளை கண்டடைந்த சங்கராச்சாரியாரின் மேதமையை நாம் மறுக்க முடியாது.
நடு நிலையிலிருந்து சொல்லவேண்டுமானால் இந்த சூத்திரங்களால் அதிகம் பயன் படுபவர்கள் பள்ளி குழந்தைகளே.
Advance Mathematics-இல் இந்த சூத்திரங்களின் பயன்பாடு எவ்வகையிலானது என்பது குறித்து இரு வேறு கருத்துகள் உள்ளன. ஏதேனும் ஒரு கருத்தை மட்டும் ஆதரிக்கும் அளவு எனக்கு கணிததில் முதிர்ச்சி கிடையாது என்பதால் நான் என்னையும் இந்த கட்டுரை தொடரையும் அந்த விவாதத்திலிருந்து விலக்கிக் கொள்கிறேன். தொழில் முறை கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் அந்த செம்பணியை மேற்கொள்ளட்டும்.
என்னுடைய பணி இனி வரும் பகுதிகளில் இந்த சூத்திரங்களை எளிமையாக குழந்தைகளும் புரிந்து கொள்ளும் வண்ணம் விளக்குதலே ஆகும். இந்த சூத்திரங்கள் வாயிலாக சிக்கலான கணித செயல்பாடுகளை மிகவும் எளிமையாக செய்ய முடியும் என்பதை நீங்கள் உங்கள் அனுபவத்தின் வாயிலாகவே உணரலாம். அவற்றை சிறு குழந்தைகளுக்கு எடுத்துச் சொல்லுதல் என்பது உங்களுக்கும் ஏதுவாக இருக்கும் வண்ணம் பின் வரும் பகுதிகளை நான் அமைக்க விரும்புகிறேன். ஒருவேளை உங்களுக்கு இதில் ஏதேனும் குழப்பம் தோன்றுமென்றால் அது என் எழுத்தின் பலவீனத்தையே காட்டுமேயன்றி, அவற்றை சூத்திரங்களின் குறைபாடாக கருதலாகாது.
उर्ध्वतिर्यग्भ्याम (ஊர்த்வ த்ரியக்ப்யாம்)
பகுதி 1
நாம் முதலாவதாக பார்க்கப்போவது ஊர்த்வ த்ரியக்ப்யாம் என்னும் சூத்திரம். இதனை அப்படியே பொருள் கொள்ள முயன்றால் “செங்குத்தாகவும் குறுக்காகவும்” என்ற அர்த்தம் வரும். இதன் பயன்பாடு மிகவும் அதிகம். எல்லாவிதமான பெருக்கல் முறைகளுக்கும் இதன் பயன்பாடு உண்டு. இதை பெருக்கலுக்கான பொதுவாத சூத்திரமாக கொள்ளலாம். மிகவும் எளிய வழிமுறைகளில் எந்த விதமான பெரிய இலக்கத்தையும் நாம் பெருக்கிவிட முடியும். உதாரணத்துடன் இதன் வழி முறையை நாம் புரிந்து கொள்ளலாம்.நாம் தற்போது பயன்படுத்தும் முறைக்கும் இந்த முறைக்கும் இருக்கும் மிக முக்கியமான வேறுபாடு என்னவென்றால் எழுதுவது, படிப்பது போலவே பெருக்கலையும் இடமிருந்து வலமாகவே செய்வீர்கள்.
பயன்படுத்தும் வழிமுறை:
வழிமுறையை விளக்க நாம் பயன்படுத்தப் போகும் உதாரணம் 18 19
படி 1:
ஒவ்வொரு பெருக்கலிலும் Multiplicand (பெருக்கப்படுமெண்) மற்றும் multiplier (பெருக்கி) என்று இரண்டு நிச்சயம் எண்கள் உண்டு. அவற்றை ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக எழுதிக்கொள்ளவும். மேலே சொன்ன உதாரணத்தில்
Multiplicand (பெருக்கப்படுமெண்): 18
Multiplier (பெருக்கி): 19. இவற்றை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக எழுதினால் இப்படி வரும். இனிமேல் நாம் நமது எல்லா உதாரணத்திலும் இப்படி தான் எழுதுவோம்.
18
19
படி 2:
முதலில் இடது ஓரத்தில் இருக்கும் இலக்கங்களை செங்குத்தாக ஒன்றோடு ஒன்று பெருக்கி அதன் பதிலை இடது ஓரத்தில் எழுதிக்கொள்ளவும்.
படி 3:
இப்போது குறுக்காக பெருக்கவும். அதாவது ஒன்றோடு ஒன்பதையும், ஒன்றோடு எட்டையும் பெருக்கவும். வரும் விடையை கூட்டவும். அதை கீழே சுட்டிக்காட்டியபடி எழுதவும். அதாவது (1X9) + (1X8) = 17. அதில் 7ஐ மட்டும் மேல் வரிசையில் எழுதிக் கொண்டு 1ஐ கீழ்வரிசையில் 1க்கு கீழ் எழுதிக் கொள்வோம்.
படி 4:
இப்போது 8 ஐயும் 9 ஐயும் செங்குத்தாக பெருக்கவும். வரும் விடையை பின் வருமாறு கூட்டவும்.
இப்போது 8 ஐயும் 9 ஐயும் செங்குத்தாக பெருக்கவும். வரும் விடையை பின் வருமாறு கூட்டவும்.
எளிமையாக இருப்பது போல தோன்றுகிறதா ?
இன்னும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக அதிகமாக இந்த முறை இன்னும் அதிக பலனுள்ளதாகிவிடும். சரி, இப்போது நாம் மூன்று இலக்க பெருக்கலுக்கு இதே விதியை பொருத்திப் பார்ப்போம்.
உதாரணமாக 174 X 213 என்ற பெருக்கலை எடுத்துக் கொள்ளலாம்
படி 1:
Multiplicand (பெருக்கப்படுமெண்): 174
Multiplier (பெருக்கி): 213.
நமது படி 1இன் படி இதை நாம் ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதிக் கொள்வோம்.
174
213
படி 2:
ஏற்கனவே நாம் அறிந்தது போல இடது ஓரத்தில் இருக்கும் செங்குத்தாக இலக்கங்களை ஒன்றோடு ஒன்றை பெருக்கி விடையை எழுதிக் கொள்ளலாம்.
இன்னும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக அதிகமாக இந்த முறை இன்னும் அதிக பலனுள்ளதாகிவிடும். சரி, இப்போது நாம் மூன்று இலக்க பெருக்கலுக்கு இதே விதியை பொருத்திப் பார்ப்போம்.
உதாரணமாக 174 X 213 என்ற பெருக்கலை எடுத்துக் கொள்ளலாம்
படி 1:
Multiplicand (பெருக்கப்படுமெண்): 174
Multiplier (பெருக்கி): 213.
நமது படி 1இன் படி இதை நாம் ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதிக் கொள்வோம்.
174
213
படி 2:
ஏற்கனவே நாம் அறிந்தது போல இடது ஓரத்தில் இருக்கும் செங்குத்தாக இலக்கங்களை ஒன்றோடு ஒன்றை பெருக்கி விடையை எழுதிக் கொள்ளலாம்.
இதுவும் நாம் ஏற்கனவே பின்பற்றிய முறை தான். ஆனால் ஒரு முக்கியமான வித்தியாசம், நாம் குறுக்கே பெருக்குவதை ஒரு இலக்கத்தோடு மட்டும் நிறுத்தப்போவதில்லை. பின் வரும் பெருக்கல் முறையை கவனியுங்கள்.
இதில் நீங்கள் முக்கியமாக கவனிக்க வேண்டியது என்னவென்றால் 18 என்ற விடை நமக்கு எப்படி வந்தது என்று.
இதில் மேல் வரிசையில் இருக்கும் ஒவ்வொரு இலக்கமும் கீழ் வரிசையில் இருக்கும் ஒவ்வொரு இலக்கத்தோடும் செங்குத்தாகவும் குறுக்கேயும் பெருக்கப்படுவதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா ? மேல் வரிசையில் இருக்கும் முதல் இலக்கமான 1 என்று என்ற இலக்கம் கீழ் வரிசையில் இருக்கும் அனைத்து எண்களுடனும் குறுக்கே பெருக்கப்பட்டவுடன் 7 என்ற இலக்கத்தின் பணி துவங்குகிறது - எப்படி ? 1 X 2 செய்தது போல 7 X 1 செய்கிறோம். ஆனால் ஒரே வித்தியாசம் அதை நாம் தனியான ஒரு படியாக செய்யவில்லை.
காரணம் செங்குத்தாக பெருக்கி விடை எழுதுவது என்பது ஓரத்தில் (இடது மற்றும் வலது) இருக்கும் இலக்கங்களுக்கு மட்டுமே. மற்ற இலக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக பெருக்கும் விடை குறுக்கே பெருக்கும் விடையுடன் சேர்ந்து விடும்.
படி 4:
இப்போது கடைசி படி - இதை நீங்கள் நன்கு அறிவீர்கள் செங்குத்தாக பெருக்க வேண்டும்.
இதில் மேல் வரிசையில் இருக்கும் ஒவ்வொரு இலக்கமும் கீழ் வரிசையில் இருக்கும் ஒவ்வொரு இலக்கத்தோடும் செங்குத்தாகவும் குறுக்கேயும் பெருக்கப்படுவதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா ? மேல் வரிசையில் இருக்கும் முதல் இலக்கமான 1 என்று என்ற இலக்கம் கீழ் வரிசையில் இருக்கும் அனைத்து எண்களுடனும் குறுக்கே பெருக்கப்பட்டவுடன் 7 என்ற இலக்கத்தின் பணி துவங்குகிறது - எப்படி ? 1 X 2 செய்தது போல 7 X 1 செய்கிறோம். ஆனால் ஒரே வித்தியாசம் அதை நாம் தனியான ஒரு படியாக செய்யவில்லை.
காரணம் செங்குத்தாக பெருக்கி விடை எழுதுவது என்பது ஓரத்தில் (இடது மற்றும் வலது) இருக்கும் இலக்கங்களுக்கு மட்டுமே. மற்ற இலக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக பெருக்கும் விடை குறுக்கே பெருக்கும் விடையுடன் சேர்ந்து விடும்.
படி 4:
இப்போது கடைசி படி - இதை நீங்கள் நன்கு அறிவீர்கள் செங்குத்தாக பெருக்க வேண்டும்.
இரண்டாம் பயிற்சி எவ்வளவு எளிதாக விடையை கொண்டு வந்து விட்டது பார்த்தீர்களா ? நாம் அடுத்த பகுதியில் தொடர்ந்து அதிக இலக்கங்கள் கொண்ட பெருக்கலை இந்த சூத்திரம் கொண்டு எப்படி செய்வது என்று பார்ப்போம்.
No response to “उर्ध्वतिर्यग्भ्याम (ஊர்த்வ த்ரியக்ப்யாம்) - பகுதி 1”
Post a Comment
Trackbacks
Leave a trackback